ECUACIONES CUADRATICAS

Para poder entender que una ecuacion cuadratica primero debemos  saber que es una ecuacion. 

¿Qué es una Ecuación?

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita.Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.  

Ejemplo:

9x² + 6x + 10       a = 9, b = 6, c = 10       3x²  - 9x         a = 3, b = -9, c = 0 

Para resolver las ecuaciones cuadraticas existen diferentes metodos de resolucion para llegar a una o varias repuestas:  

1.)  METODO DE FORMULA GENERAL:

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula 

general. 

Donde el símbolo "±" indica que los dos valores son soluciones.

Resolucion: 

Una ves con lo 2 resultados encontrados reemplazamos en la ecuacion original para saber si estos son correctos de la siguiente forma:

 como vemos en el siguiente ejemplo ambos resultados son correctos, pero en caso de no salir la comprobacion debemos volver a revisar todo el ejercicio.

2 Metodo de Factorizacion:

¿ Que es la factorizacion? 

La factorización es muy importante en el álgebra.  No sólo la aprendemos para expresar un polimonio como un producto de factores también la utilizamos para: simplificar expresiones racionales, efectuar operaciones (suma, resta, multiplicación y división) de expresiones racionales y resolver ecuaciones  e inecuaciones cuadráticas.

existen varios casos de factorización: monomio como factor común, agrupación, trinomio de segundo grado: caso sencillo y caso general, los casos especiales de factorización: diferencia de cuadrados, cuadrados perfectos, suma de cubos y la diferencia de cubos.  Cada uno de estos casos tiene su procedimiento.

Trata de practicar mucho la factorización, debido a que es una herramienta básica.  La práctica te ayudará a factorizar los ejercicios con mayor rápidez.  

2.1 metodo de factorizacion por agrupacion de terminos

 Esta técnica nos permite factorizar expresiones que tienen cuatro términos o más aplicando la agrupación de términos en dos o más grupos. Luego se factoriza cada grupo, con el objetivo de encontrar un factor común en cada uno de ellos que se pueda factorizar. Finalmente se utilizan los criterios de factorización de bimonios y trinomios, para terminar el proceso.

Ejemplo:

 

para realizar la comprobacion de este ejercicio realizamos la misma operacion que la anterior solo reemplazamos en la ecuacion original.

2.2 trinomio cuadrado perfecto

Surge de elevar al cuadrado un binomio: Resulta un trinomio con dos términos "cuadráticos" y un término "rectangular", enlazados con una visión geométrica de las áreas de un cuadrado y de rectángulo.

Visualización de la fórmula para un cuadrado y para su trinomio cuadrado perfecto

Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad TCP, es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Todo trinomio de la forma:

es un trinomio cuadrado perfecto


Siendo la regla: el cuadrado de cualquier binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones presentadas:

1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una variable.
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos.
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los demás.
4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo
5. En resumen: Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término

Un trinomio cuadrático general de la forma es un TCP si se cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad es siempre igual a . También se considera un trinomio cuadrado perfecto de la forma: , donde las mismas reglas explicadas anteriormente aplican

Ejemplo:

en este ultimo caso no es distinto para la comprobacion se realiza lo mismo.

             

posicion relativa entre una recta y una parabola

Las posibles posiciones relativas de una parábola y una recta son:

1.- La recta es tangente a la parábola. En este caso su intersección es un punto.

2.- La recta es secante. En este caso su intersección son dos puntos.

3.- La recta sólo corta en un solo punto si la recta es paralela al eje de simetría de la parábola.

4.- La recta no corta a la parábola, es decir, es exterior a la parábola. En este caso no hay ningún punto común a ambas.

Para determinar las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta resolvemos el sistema no lineal formado por las ecuaciones de ambas.

 Ejemplo:

 

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Objetivo de Aprendizaje

·         Resolver sistemas de ecuaciones lineales, cuadráticas y otras funciones no lineales.

Introducción

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.

Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.

Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas

Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:

Una solución	No hay solución	Soluciones infinitas
Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones.

Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:

Una solución	No hay solución	Dos soluciones
Si la parábola y la recta se tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.	Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.	Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones.

No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa.

Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).

Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.

Ejemplos
Problema	Resolver el sistema graficando las ecuaciones       y
			Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección
Solución	Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos de intersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22)

Ecuacion con valor absoluto

Una ecuación con valor absoluto se resuelve planteando dos ecuaciones resultantes de aplicar la definición de valor absoluto, el conjunto solución será un conjunto formado por dos elementos que satisfacen a la ecuación

¿Cómo resolver una ecuación con Valor Absoluto?

Resolver una ecuación es encontrar un valor numérico que permita cumplir la igualdad. Cuando esta definición se suma con la definición de valor absoluto, se tendrán entonces dos valores que cumplan con ambas definiciones: Valor Absoluto: siempre valor positivo; ecuación: cumplir con la igualdad.

Los Objetivos de este artículo:
1) Mostrar como resolver una ecuación sencilla con valor absoluto
2) Como representar la solución, dos formas. Una analítica y otra en forma de conjunto.
Observa ahora la siguiente imagen, estudia el procedimiento.

 Ejemplo:

 Resolver

1) |5x-2| = 3

2) |7x-4|+2 = 0

3) |6-3x| = |2x+1|

Inecuaciones

Introduccion:

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.¹ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

(4, ∞)

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5    3x + 4 − 4 < 5 − 4    3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6    2x : 2 < 6 : 2    x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

−x < 5    (−x) · (−1) > 5 · (−1)   x > −5 

Ejemplo: